Описание алгоритма блочного метода Ланцоша опубликовано в статье [16]. Используемая в SCAD реализация метода Ланцоша предусматривает четыре режима вычислений: модальный, интервальный, сейсмический и режим верификации расчетной модели, которые описаны ниже.
Модальный режим. Определяется заданное количество частот и форм собственных колебаний, которое задается в диалоге Параметры динамических воздействий на закладке Модальный Анализ. Начальное значение сдвига задается в диалоге Параметры расчета на закладке Динамика. По умолчанию принимается сдвиг σ = 0. При этом в диалоге Параметры динамических воздействий должен быть выбран метод Ланцоша, а маркер Анализ в заданном частотном диапазоне должен быть отключен.
Интервальный режим. Интервальный режим определяет все собственные пары, заключенные в интервале [a,b]. В диалоге Параметры динамических воздействий после выбора метода Ланцоша необходимо включить флажок Анализ в заданном частотном диапазоне и задать начальную частоту a и конечную b, которые определяют частотный интервал [a,b]. Следует учитывать то обстоятельство, что спектр собственных частот расчетных моделей большинства сооружений очень густой, и в диапазоне нескольких Герц может оказаться несколько тысяч собственных частот.
Сейсмический режим. Определяет частоты и формы собственных колебаний до тех пор, пока не будет обеспечена заданная сумма модальных масс по каждому из главных направлений сейсмического входа OX, OY, OZ (OXYZ – глобальная система координат). Кроме того, если задана частота отсечения (для этого надо включить флажок Ограничение по максимальной частоте и в открывшемся окне редактирования ввести значение этой частоты), то алгоритм закончит работу тогда, как только произойдет одно из двух событий.
Режим верификации расчетной модели. Разработан для идентификации трудно обнаруживаемых ошибок расчетных моделей, приводящих к геометрической изменяемости. Основная идея метода состоит в том, что при наличии геометрической изменяемости задача содержит нулевые собственные числа, количество которых равно количеству недостающих связей, наложение которых устранило бы геометрическую изменяемость, а соответствующие этим частотам формы собственных колебаний представляют формы движения механизма. Анализ этих форм и их анимация должны помочь пользователю выявить, где именно необходимо наложить связи, чтобы сделать расчетную модель геометрически неизменяемой. Обоснование подхода и примеры применения приведены в [18], [19].
Для включения режима верификации необходимо создать динамическое загружение – модальный анализ, выбрать метод Ланцоша и задать требуемое количество собственных пар, несколько превышающих ожидаемое количество степеней свободы механизма (количество недостающих связей). В диалоге Параметры расчета на закладке Динамика выбрать метод Ланцоша, режим верификации и ввести небольшой начальный отрицательный сдвиг, например -0.001 Гц. Если значение начального сдвига принять по умолчанию (0 Гц), то алгоритм сам подставит значение -1 Гц. Следует помнить, что чем ближе значение сдвига к нулю, тем быстрее сходимость нулевых частот. С другой стороны, если значение сдвига слишком мало, то матрица K – σM в случае геометрически изменяемой системы близка к особенной, и метод Ланцоша становится численно нестабильным.
При наличии геометрической изменяемости матрица K – особенная, поэтому мы не можем ее факторизовать. Однако матрица K – σM особенной не является, если матрица M разложима по Холецкому. Поэтому в позициях нулевых диагональных элементов матрицы масс добавляются малые ненулевые элементы. По этой причине значения собственных чисел, полученных в режиме верификации расчетной модели, могут отличаться от их значений, полученных в других режимах.
Пример. Расчетная модель плоской фермы представлен на рисунке 1. Отсутствующий раскос показан красной прерывистой линией. Форма колебаний, соответствующая нулевой частоте, показана на рисунке 2. Начальный сдвиг принят равным -0.001 Гц.
Рис. 1. Плоская ферма. Отсутствующий стержень показан пунктиром
Рис. 2. Форма колебаний для «нулевой» частоты (f = -1.804e-006 Гц)
Информация о расчете. Полная информация о расчете находится в файле с расширением *.p04, который находится в каталоге SWORK. В частности, в этом файле содержатся данные о точности определения собственных пар (см. столбец Prec). В режиме верификации расчетной модели точность вычисляется на основании критерия Каниэля-Саада [18, § 12.4], в остальных случаях — это величина, равная
\[ \frac{\left\| {{\rm {\bf v}}_{i} -\lambda_{i} {\rm {\bf K}}^{-1}{\rm {\bf Mv}}_{i} } \right\|_{2} }{\left\| {{\rm {\bf v}}_{i} } \right\|_{2} },\quad i\in \left[ {1,\;n} \right]. \]
Рекомендуется после выполнения расчета просмотреть хотя бы точность полученных результатов. Точность определения собственной пары считается приемлемой, если величина Prec не превосходит величины параметра «точность решения задачи на собственные значения (метод Ланцоша)». Кроме того, таблица значений модальных масс mx, my, mz, а также сумм модальных масс ∑mx, ∑my, ∑mz, вычисляемых как суммы модальных масс от первой до текущей собственных форм, является важнейшей информацией для расчета на сейсмику, а также на ветровые пульсации, поскольку позволяют определить, какие формы колебаний дают существенный вклад в динамическую реакцию сооружения, а какие – нет.