Описание динамических решателей

Задача определения нижних частот и форм собственных колебаний зданий и сооружений при решении методом конечных элементов сводится к решению алгебраической частичной обобщенной проблемы собственных значений

(K -λ_jM)V = 0

Исходя из удобства вычислений данная задача приводится к виду

где K_σ = K – σ∙M, K – матрица жесткости, M – диагональная или согласованная матрица масс, σ – параметр сдвига¹⁾, V = {v₁, v₂, …, v_n}, v_i, i ∈ [1, n] – первые n собственных векторов, подлежащие определению, λ_j–собственные числа λ₁ ≤ λ₂ ≤ … ≤ λ_n, причем λ_i = ω_i² = (2∙π∙f_i)², где f_i [Гц] – частота собственных колебаний. Размерность задачи равна N ≥ n, где N — число степеней свободы.

В программе SCAD реализованы три метода модального анализа. Методы итерации подпространств и наискорейшего спуска являются классическими и описаны во многих книгах по вычислительной линейной алгебре (см., например, [18]). Реализация блочного метода Ланцоша имеет некоторые особенности, поэтому метод более подробно описан ниже.

1) Ненулевое значение сдвига используется при анализе геометрически изменяемых конструкций.