Плоские конечные элементы

Местная система координат плоских элементов

Начало местной системы координат элементов пластин находится в узле, которому присвоен номер 1 (узел 1); два следующих узла (узлы 2 и 3) полностью определяют направление осей X1 и Y1 для плит и оболочек и осей X1 и Z1 — для балок-стенок.

Рис. 1. Плиты и оболочки

Направления местных осей (рис. 1) для плит и обо­ло­чек следующие:

  • ось X1 пластины направляется от узла 1 к узлу 2 (узлу, который задан вторым);
  • ось Y1 пластины лежит в плоскости элемента, перпен­дикулярна оси Х1 и направлена в сторону третьего узла;
  • ось Z1 ортогональна X1 и Y1 и составляет с ними правую тройку.

Рис. 2. Плиты и оболочки

Рис. 3. Элементы для решения плоской задачи теории упругости (балки-стенки)

 

Для КЭ балок-стенок следовало бы выбрать ту же систему ко­ординат, что для плит и оболочек. Однако, учитывая то, что элементы балок-стенок ча­ще всего располагаются в плоскости XOZ (и плоскостях, па­рал­лельных ей) общей системы ко­ординат, принята такая си­стема, ко­гда в плоскости элемента лежат оси X1 и Z1, а ось Y1 пер­пендикулярна его плоскости (рис. 3); т. е., если срав­нивать с плитами и оболочками, то меняются местами оси Z1 и Y1.

Для всех плоских конечных элементов возможно вычисление усилий и напряжений в системе координат, отличной от местной. Использование таких систем удобно для дальнейшего анализа результатов расчета.

 

У конечного элемента типа 22 (треугольная балка-стенка), лежащего в плос­кости, параллельной XOZ, местная система координат совпадает с общей.

Группа усилий (напряжений) в плоских элементах

Усилия (напряжения) в плоских конечных элементах вычисляются, как правило, для центра тяжести элемента (точка С на рис. 2 и 3), хотя предусмотрена возможность вычисления усилий (напряжений) в узлах. Если не задана специальная система координат, они вычисляются в местной системе координат элемента. Вычисляемые усилия и напряжения, а также направления степеней свободы их узлов приведены в таблице 1.

Таблица 1

Тип КЭ[1]

Краткое название

Плоскость (или параллельная ей)

Перемещения узлов

Усилия, напряжения

Конечные элементы плиты

11, 13

12, 14, 15

19, 20

Прямоугольные

Треугольные

Четырехугольные

(Все элементы могут быть на упругом основании)

 

XOY

 

Z, UX, UY

 

MX, MY, MXY,

QX, QY,

(RZ)

Конечные элементы балки-стенки

21

22

23, 26

24, 25, 28

30

27

Прямоугольные

Треугольные

Прямоугольные

Треугольные

Четырехугольные

Четырехугольные

XOZ

XOZ

произвольно

произвольно

XOZ

произвольно

X, Z

X, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Z

X, Y, Z

 

 

NX, NY[2], NZ, TXZ

Конечные элементы оболочки

41

42, 45

44, 50

Прямоугольные

Треугольные

Четырехугольные

(Все элементы могут быть на упругом основании)

 

произвольно

 

X, Y, Z,

UX, UY, UZ

 

NX, NY, TXY,

MX, MY, MXY,

QY, QX, (RZ)

 

Вычисляемые усилия и напряжения более подробно описаны в таблице 2, где даны и правила знаков для них.

Таблица 2

Тип КЭ

Обозначение силового фактора

Размер­ность

в базовых

единицах

Описание

Правило знаков

Мембранные напряжения

21–30

41–50

NX(σx)

Т/м2

Нормальное напряжение,

действующее вдоль оси X1

Положительный знак соответствует растяжению

21–30

41–50

 

NY(σy)

 

Т/м2

 

Нормальное напряжение,

действующее вдоль оси Y1

Положительный знак соответствует растяжению

(Для элементов 21–30 вычисляется только для плоско-деформированных систем)

21–30

NZ(σz)

Т/м2

Нормальное напряжение,

действующее вдоль оси Z1

Положительный знак соответствует растяжению

41–50

TXY(τxy)

Т/м2

Cдвигающее напряжение

Сдвиг сечения элемента в направ­ле­ниях, противополож­ных осям X1 и Y1

21–30

TXZ(τxz)

Т/м2

Cдвигающее напряжение

Сдвиг сечения элемента в направле­ниях, противополож­ных осям X1 и Z1

Изгибные напряжения (усилия)

11–20

41–50

MX

Тм/пог. м

Момент, действующий на се­че­ние, ортогональное оси Х1

Положительный момент вызывает растяжение нижнего (относительно оси Z1) волокна сечения

MY

Тм/пог. м

То же, ортогональное оси Y1

То же

MXY

Тм/пог. м

Крутящий момент (дейст­ву­­ю­щий в сечении, ортого­нальном оси X1).

Вращение сечения элемента, против часовой стрелки, если смотреть с конца оси X1

QX

Т/пог. м

Перерезывающая сила в сечении, ортогональном
оси X1

Положительная перере­зывающая сила действует по направлению оси Z1 на той части КЭ, в которой отсутствует узел 1

QY

Т/пог. м

То же, ортогональном оси Y1

Реактивный отпор грунта

11–30

41–50

RX

Т/м2

Реактивный отпор грунта при расчете плит и оболо­чек на упругом основании

Положительное усилие действует по направлению оси X1 (знак минус означает, что грунт сжат)

11–20

41–50

RY

Т/м2

Реактивный отпор грунта при расчете плит и оболо­чек на упругом основании

Положительное усилие действует по направлению оси Y1 (знак минус означает, что грунт сжат)

21–30

41–50

RZ

Т/м2

Реактивный отпор грунта при расчете плит и оболо­чек на упругом основании

Положительное усилие действует по направлению оси Z1 (знак минус означает, что грунт сжат)

[1] В колонке Тип КЭ указаны две последние цифры типа элемента.
[2] Усилие NY появляется при расчете плоских деформированных систем.

В любой системе единиц моменты и поперечные силы определяются на единицу длины (например, 1 метр) независимо от заданных размеров сторон элементов (0.001 м или 10.000 м).

Кроме того, вычислются:

Правила знаков для усилий (напряжений) в плоских конечных элементах

Для каждой точки вычисления усилий (напряжений) фактически рассматриваются проходящие через нее два сечения:

Понятно, что внутренние силы (усилия, напряжения) в любом сечении уравновешены (направлены в противоположные стороны).

Рис. 4.

Для выдачи результатов расчета следует выбрать одну из плоскостей сечения. В приведенных примерах (рис. 4, 5, 6) выбрана плоскость сечения, принадлежащая той части элемента, которая включает в себя последний узел. Таким образом, выбраны те направления группы усилий (напряжений), с которыми действует отброшенная (с узлом 1) часть пластины на вторую ее часть — ту, которая включает в себя последний узел (узел 3 для треугольных либо узел 4 для четырехугольных элементов).

В первом сечении вычисляются компоненты усилий, действующих на выбранную плоскость (рис. 4):

NX — нормальное напряжение в сечении (Т/м2) от растяжения-сжатия элементов оболочки; положительные NX вызывают растяжение сечения в направлении, параллельном оси X1;

MX — изгибающий момент на единицу длины сечения (Тм/пог. м), положительный MX сжимает верхние (по отношению к направлению оси Z1) и растягивает нижние волокна сечения в направлении, параллельном оси X1;

QX — перерезывающая сила на единицу длины сечения (Т/пог. м), положительное направление QX совпадает с направлением оси Z1.

Во втором сечении вычисляются (рис. 5):

NY — нормальное напряжение в сечении (Т/м2) от растяжения-сжатия элементов оболочки; положительные NY вызывают растяжение сечения в направлении, параллельном оси Y1;

MY — изгибающий момент на единицу длины сечения (Тм/пог. м), положительный MY сжимает верхние (по отношению к направлению оси Z1) и растягивает нижние волокна сечения в направлении, параллельном оси Y1;

QY — перерезывающая сила на единицу длины сечения (Т/пог. м), положительное направление QY совпадает с направлением оси Z1.

Рис. 5.

В каждом из этих сечений также вычисляются парные усилия и напряжения (рис. 6):

TYX, равное TXY, — сдвигающие напряжения (Т/м2), положительное направление сдвига проти­во­положно направлению оси Y1; положительные сдвигающие напряжения стремятся как бы растянуть сечение той части элемента, в которую входит последний узел (диагональ квадрата, исходящую из узла 4 в ква­дратном конечном элементе);

MXY, равное МYX, — крутящий момент (Тм/пог. м); положительный MXY сжимает верхние (по отно­шению к оси Z1) и растягивает нижние волокна сечения в направлении, параллельном оси Y1, т. е. момент скручивает сечение, принадлежащее концу элемента, по часовой стрелке, если смотреть на сечение по направлению оси X1, и против часовой стрелки, если смотреть с конца оси X1

.

 

Рис. 6.

Те же сечения принимаются и для конечных элементов балки-стенки (рис. 7), только напряжения NY и TXY, соответствующие элементам оболочки, следует заменить на NZ и TXZ, соответствующие балке-стенке.

Рис. 7.

Усилия и напряжения по умолчанию вычисляются всегда для центра тяжести элемента и, если задано, в его узлах.

Наглядно показать воздействие на плоские конечные элементы усилий можно следующим образом (рис. 8 и рис. 9.):

Рис. 8. Мембранная группа усилий

Рис. 9. Изгибная группа усилий

Положительные направления напряжений в конечных элементах балки-стенки

В конечных элементах, предназначенных для расчета плос­ко­напряженных (балок-стенок) или плоскодеформиро­ванных систем, вычисляются следующие напряжения:

Рис. 10.
  • нормальные напряжения NX, NZ;
  • сдвигающее напряжение TXZ;
  • нормальное напряжение NY для плоско­дефор­ми­рованных систем.

Положительные направления NX и NZ растягивают сечения балки-стенки, проведенные через центр тяжести элемента пер­пендикулярно осям X1 и Z1, соответственно. Направление напряжений принято для той части сечения, к которой принадлежит последний из основных (3-й — для треугольных либо 4-й — для четырехугольных) узлов, т. е. опре­деляется воз­действие отброшенной (с узлом 1) части на оставшуюся (с узлами 3 либо 4) часть элемента.

Если элемент растягивается либо сжимается только параллельно осям X1 и Z1, то всегда TXZ рав­но нулю, т. е. сечения, перпендикулярные осям X1 и Z1, в этом случае совпадают с главными площадками.

На рис. 10 показаны напряжения, действующие по граням элементарного прямо­угольника, вырезанного в окрестности центра тяжести конечного элемента балки-стенки, а в таблице 2 приведены правила чтения напряжений.

Отметим здесь же, что при решении задачи плоской деформации кроме напряжений NX, NZ, TXZ, действующих в плоскости элемента, выдается значение нормального к плоскости напряжения NY, которое действует в направлении, ортогональном плоскости элемента, а его положительный знак означает растяжение.

Положительные направления усилий в КЭ плит

Для конечных элементов плиты вычисляются следующие усилия:

Рис. 11.

Положительные моменты MX, MY, MXY растягивают ниж­ние (по отношению к направлению оси Z1) волокна сечений, про­веденные через центр тяжести КЭ перпен­дикулярно осям X1, Y1, соответственно. Направление уси­лий MX, MY, MXY, QX, QY принято для той части се­чения, к которой принадлежит последний из основных (3-й для треугольных либо 4-й для четырехугольных) узлов элемен­та, т. е. определяется воздействие отброшенной (с узлом 1) части на оставшуюся часть. Поло­жи­тельное направление перерезывающих сил QX и QY совпадает с направлением оси Z1.

На рис. 11 показаны перерезывающие силы и векторы моментов, действующие по граням эле­ментарного прямоугольника, вырезанного в окрестности центра тяжести элемента плиты, а в таблице 2 приведены правила чтения усилий.

Положительные направления напряжений и усилий в КЭ оболочки

Рис. 12.

В конечных элементах оболочки вычисляются следующие усилия:

  • нормальные напряжения NX, NY;
  • сдвигающее напряжение TXY;
  • моменты MX, MY и MXY;
  • перерезывающие силы QX и QY;
  • реактивный отпор грунта RZ (только при учете упругого основания).

Элемент оболочки выполнен таким образом, что сов­мещает в себе свойства элементов балки-стенки и плиты, поэтому все пояснения, приведенные выше, спра­ведливы и для настоящего раздела.

На рис. 12 показаны напряжения, перерезывающие силы и векторы моментов, дейст­вующие по граням элементарного прямоугольника, вырезанного в окрестности центра тяжести элемента оболочки, а в таблице 2 приведены правила чтения напряжений и усилий.