Произвольный материал

Рассмотрим задание данных для случая произвольного материала.

В этом случае следует выбрать теорию, которая описывает поведение материала. Реализована деформационная теория пластичности [1], [4] и теория пластического течения фон Мизеса [12]. Маркер Пластичность позволяет указать, следует ли учитывать пластическое поведение. Если маркер Пластичность не взведен, то фактически будет предполагаться, что материал работает в условиях нелинейной упругости; в противном случае будут учтены такие эффекты пластичности, как остаточные деформации, возникающие при разгрузке.

В текущей версии SCAD основной упор сделан на теорию пластического течения, поскольку деформационная теория дает корректные результаты только при простом нагружении, т. е. тогда, когда в любом бесконечно малом объеме деформируемого тела все компоненты тензора деформаций изменяются пропорционально одному и тому же параметру. Данное условие не всегда выполняется даже тогда, когда все приложенные к телу нагрузки изменяются пропорционально одному параметру, поскольку при монотонно возрастающем параметре нагружения возможно появление зон разгрузки (см., например, [10]). А при циклическом и динамическом нагружении достоверность результатов, полученных на основании деформационной теории пластичности, становится непредсказуемой.

Теорию пластического течения рекомендуется также использовать при быстроменяющемся процессе нагружения (например, расчет по сейсмограмме).

В случае деформационной теории пластичности можно указать тип диаграммы σ-ε (билинейная диаграмма или аппроксимация Паде билинейной диаграммы). На рисунке ниже приведен пример симметричной билинейной диаграммы и аппроксимации Паде этой же диаграммы.

Рис. 1. Билинейная диаграмма и аппроксимации Паде этой же диаграммы

Включение маркера «геометрическая нелинейность» приводит к учету геометрической нелинейности в квадратичном приближении.

В зависимости от выбранной теории от пользователя требуется также задать следующие данные:

Таблица 2

Рис. 2. Диаграммы σ_e – ε_e (красная кривая) и p = p(ε_e) (синяя кривая). Здесь p – параметр повреждаемости.

На рис. 2 представлены диаграмма σ_e – ε_e (приведенное напряжение - приведенная деформация – красная кривая) и p = p(ε_e) (параметр повреждаемости - приведенная деформация – синяя кривая). Поскольку при использовании теории пластического течения диаграммы для сжатия и растяжения удовлетворяют условию центральной симметрии относительно начала координат, то на рисунке представлена только часть диаграммы для первого квадранта. Диаграмма σ_e – ε_e имеет три участка: линейный (ε_e \( \in \) [0, ε_y]), зона упрочнения (ε_e \( \in \) [ε_y, ε*]) и зона деградации (ε_e > ε*]), которая начинается при превышении приведенной деформации порогового значения ε*, причем в зоне растяжения ε* = ε_t,max, а в зоне сжатия ε* = ε_c,min. При ε_e > ε* деградация материала определяется видом функции f(ε_e – ε*).

В случае экспоненциальной зависимости f(ε_e – ε*) = (1 – α)e^{-b(ε_e – ε*)} + α, причем b = |{[ln(tol/(1 – α)]}/{[1 + (1 – α)(1 – ξ)] ε*}|, tol = 10^-4. Параметры α и ξ определяют быстроту деградации и остаточную прочность.

В случае гиперболической зависимости f(ε_e – ε*) = (1 – α) ε*/ε_e + α . Быстрота деградации здесь не изменяется, а параметр α определяет остаточную прочность материала.

В случае линейной зависимости f(ε_e – ε*) = 1 – (1 – ε_e/ε*)/(1 – ξ), причем f(ε_e – ε*) = 1, если f(ε_e – ε*) > 1, и f(ε_e – ε*) = α, если f(ε_e – ε*) < α.

Разные материалы обладают разными скоростями деградации и различной величиной остаточной прочности. Строго говоря, эти данные следует определять из экспериментальных исследований. Из нормативных документов обычно известно значение ε*. А вот скорость деградации и остаточная прочность изучены значительно хуже. Тем не менее, следует попытаться найти в научно-технических публикациях информацию о параметрах разрушения данного материала. Часто оказывается так, что при ξ \( \in \) [5, 20] и α \( \in \) [0.01, 0.05] удается получить приемлемый результат, слабо зависящий от величин ξ и α, находящихся в указанных пределах. Попытки приблизиться к мгновенному разрушению материала (малые значения ξ) часто приводят к расходимости итерационного процесса при появлении деградации, особенно при игнорировании сил инерции и диссипации, когда методы нелинейной динамики применяются к решению статических задач. Задачи нелинейной динамики (силы инерции и диссипации учитываются) обычно более устойчивы к сингулярным особенностям расчетной модели, чем задачи статики, поэтому значительно чаще, чем задачи статики, позволяют получить сходящееся решение даже при малых значениях параметра ξ (ξ < 5).

Влияние относительных модулей θ упрочнения (разупрочнения) на модель материала проще всего продемонстрировать на примере идеализированных диаграмм σ-ε (рис. 2).

Рис. 3. Идеализированные диаграммы σ-ε:
a) диаграмма Прандтля; b) диаграмма Прандтля с линейным упрочнением

После задания всей необходимой информации можно воспользоваться кнопкой  для предварительного просмотра диаграммы σ-ε.

В данном диалоговом окне, можно использовать маркер Диапазон деформации и получить возможность задать нужный диапазон изменения деформации ε. График будет обновлен после нажатия кнопки Применить.

В случае теории пластического течения для произвольного материала диаграмма σ – ε принимается симметричной билинейной – пределы текучести на растяжение и на сжатие, а также параметры упрочнения/разупрочнения на растяжение и на сжатие совпадают. Кроме того, появляется маркер Учесть эффект Баушингера. Эффект Баушингера состоит в снижении предела текучести материала при деформировании в противоположном направлении после того, как материал был подвергнут пластическим деформациям заданного направления. Поясним это явление на следующем примере. Рассмотрим стальной стержень, подверженный действию осевой силы. Стержень находится в одноосном напряженном состоянии (σ_x≠ 0, остальные компоненты тензора деформаций равны нулю). Сначала сила увеличивается от нуля до заданной величины – стержень растягивается, затем сила уменьшается до нуля, затем – до заданной величины с обратным знаком, а затем увеличивается до нуля. Таким образом, задается простой цикл нагружения с постоянной амплитудой. Рассматриваются две модели материала. Первая модель учитывает эффект Баушингера, а вторая – нет. На рис. 4 представлены соответствующие диаграммы σ – ε, полученные непосредственно из решения данной тестовой задачи.

При учете эффекта Баушингера (рис. 4 слева) участок OA соответствует упругому поведению материала, AB – упруго-пластическому поведению материала с упрочнением. В точке B сила достигает максимального значения и начинает уменьшаться. При этом в стержне сначала происходит упругая разгрузка, а затем нагружение до момента достижения предела текучести при сжатии (линейный участок BC). Вследствие учета эффекта Баушингера предел текучести материала при сжатии сместился из точки C` в точку C. В случае не учёта эффекта Баушингера (рис. 4 справа) смещения точки C не происходит. В этой точке достигается максимальное значение нагрузки при сжатии, а при уменьшении нагрузки изображающая точка движется по прямой BC от точки C до нуля, совершая упругую разгрузку.

Мы видим, что учет либо не учет эффекта Баушингера приводит к совершенно различному поведению материала. В первом случае диаграмма σ – ε носит ярко выраженный гистерезисный характер, а во втором – нет. В первом случае в теории пластического течения используется кинематическое упрочнение, при котором поверхность текучести не расширяется после того, как изображающая точка на нее вышла, а перемещается в пространстве главных напряжений как абсолютно твердое тело параллельно гидростатической оси (σ₁ = σ₂ = σ₃). Во втором случае используется изотропное упрочнение, при котором поверхность текучести равномерно расширяется.