Задача устойчивости решается в классической постановке для упругой системы и в предположении, что все приложенные к системе внешние нагрузки (следовательно, и внутренние силы) растут пропорционально одному и тому же параметру λ. То значение параметра λ, при котором матрица жесткости системы К(λ) впервые перестает быть положительно определенной, является критическим, а соответствующее значение λ — коэффициентом запаса устойчивости (КЗУ). Матрица жесткости К(λ) = К0- К1(λ) состоит из «обычной» матрицы жесткости К0 и матрицы «толкающих» реакций К1(λ), которые определяются сжимающими силами в стержнях, напряжениями сжатия в конечных элементах оболочечного типа и т.п. Напомним, что положительная определенность матрицы жесткости означает, что при любых значениях узловых перемещений и поворотов упругий потенциал положителен (это значит, что для деформирования системы необходимо затратить энергию и, следовательно, она оказывает сопротивление деформированию, являясь отпорной).
Если система теряет устойчивость, она теряет отпорность, и ее матрица жесткости становится вырожденной (с нулевым детерминантом), а в закритическом состоянии система получает отрицательную отпорность (при ее принудительном деформировании выделяется ранее накопленная потенциальная энергия «толкающих» реакций), и ее матрица жесткости становится знаконеопределенной.
Таким образом, задача оценки устойчивости равновесия сводится к проверке положительной определенности матрицы жесткости при пробном значении коэффициента λ.
Необходимо отметить, что с помощью проверок матрицы жесткости можно отыскать только те критические состояния, при которых потеря устойчивости происходит по форме, когда не все узловые перемещения и повороты равны нулю (это т.н. явная форма потери устойчивости). Кроме того, проверяется, что при пробном значении λ не происходит скрытая форма потери устойчивости, которая реализуется в пределах одного конечного элемента и не вызывает узловых перемещений и поворотов. Поскольку для всех типов конечных элементов соответствующие критические величины λкр известны (они вычисляются по простым формулам), то это значит, что следует, кроме всего прочего, проверить неравенство λ > λкр для всех конечных элементов.
При необходимости, можно вычислить заказанное число коэффициентов λ и соответствующих им форм потери устойчивости. Это особенно важно, например, при наличии кратных форм.
Важно отметить, что устойчивость теряет система в целом, т.е. все ее элементы. Для того чтобы проиллюстрировать это принципиальное положение, представим себе сжатый стержень, расчетная схема которого набрана из цепочки конечных элементов типа «пространственный стержень». Если этот стержень сжат силой Р, то он может потерять устойчивость при некотором ее значении, в k раз большем заданного (то есть k — коэффициент запаса устойчивости). Возникает вопрос, какой из конечных элементов, продольная сила в котором в момент потери устойчивости будет равна kN = kР, потерял устойчивость? Естественно, что все элементы, составляющие стержень. Этот же вывод относится и к любой расчетной схеме. Несмотря на то, что потеря устойчивости характеризует всю систему, это не означает, что все её элементы в равной степени ответственны за появление критического состояния. Их конкретную роль можно оценить с помощью анализа энергетической картины явления (см. Энергетический постпроцессор).
Классическая теория устойчивости равновесия, излагаемая в большинстве курсов строительной механики и обычно используемая при расчете строительных конструкций, предполагает (к сожалению, чаще всего молчаливо), что все внутренние силы возрастают пропорционально одному параметру, а соотношение между ними при этом остается неизменным.
При этом даже для линейных систем полученный классическим способом коэффициент запаса устойчивости может не иметь четкого физического смысла. Действительно, представим себе конструкцию с элементами, сильно сжатыми за счет постоянной нагрузки G0 от собственного веса, и в дополнение нагруженными временной нагрузкой P0.
Непропорциональный рост нагрузок
Коэффициент запаса k' = 1,25 для суммарной нагрузки соответствует явно нереальному росту собственного веса на 25%. Если же выделить возможный рост собственного веса, например, на 10% (то есть положить kg = 1,1), то для достижения критического состояния временная нагрузка должна вырасти намного больше. Естественно, что при таком рассуждении, графическая иллюстрация которого представлена на рисунке, довольно скромный коэффициент запаса 1,25 предстает совсем в другом свете (kp > 1,25). Результат, разумеется, будет очень зависеть от вида границы области устойчивости, и при другой ее конфигурации все коэффициенты запаса могут оказаться такими, что значение kpP0 будет существенно меньшим. Но важно отметить сам факт недостаточной точности анализа системы с привычной трактовкой коэффициента запаса по устойчивости.
Поэтому реализован вариант, когда на систему действуют два загружения, из которых изменяется только одно.